Чи є 0 1 обмеженою множиною чи ні?
Це правда (0,1) є
, і це властивість метрики (або рівномірності, якщо ви про це знаєте), а не топології. Отже, це не обов’язково зберігається гомеоморфізмами (але це зберігається ізометріями!), як показує ваш власний приклад. 27 травня 2016 р.
Наприклад, оскільки t ∈ (0, 1) означає, що 0 < t < 1, випливає, що (0, 1) є обмеженим.
Обмежений замкнутий проміжок [0, 1] є компактним і його максимум 1 і мінімум 0 належать множині, тоді як відкритий інтервал (0, 1) не є компактним і його супремум 1 і інфімум 0 не належать множині. Необмежений замкнутий інтервал [0, ∞) не є компактним і не має максимуму.
Ми говоримо, що множина чисел обмежена якщо існує таке число M, що розмір кожного елемента в наборі не перевищує M, і необмеженим, якщо такого числа M немає.
(0,1] є a напіввідкритий або напівзакритий комплект. Залежить від топології! На відміну від дверей, підмножини топологічних просторів можуть бути як відкритими, так і закритими, і вони можуть бути ні відкритими, ні закритими.
Множина [0, 1] є як обмеженою, так і цілком обмеженою (для будь-якого ε > 0 можна покрити [0, 1] скінченною кількістю ε-кульок). Іншими словами, за цією метрикою всі цілі числа знаходяться на відстані 1 одне від одного.
Деякі з важливих властивостей зв'язності множини перераховані нижче. Підмножина топологічного простору називається зв’язною, якщо вона зв’язана в топології підпростору. Інтервал (0, 1) ⊂ R зі своєю звичайною топологією зв'язний. Інтервали є єдиними зв’язаними підмножинами R із звичайною топологією.
